10 Teori Matematika yang Ajaib

Quote:WELCOME TO MY THREAD
Budayakan Comment Bermutu

dan Rate 5

Quote:Selama ane menjelajahi dunia Matematika, banyak hal-hal ajaib. Yang ane maksud ajaib adalah hal-hal yang aneh

, mencenggangkan, mengherankan, dianggap mustahil bahkan bertentangan dengan akal sehat. Okey tanpa banyak basa-basi ini 10 hal ajaib di Matematika

Quote:
Semoga kagak repsol

Spoilerfor :

Quote:10. 0,9999999â€¦. = 1

ente ente pasti berpikir bahwa 0,9999999â€¦. dan 1 adalah dua bilangan yang berbeda

. Tidak-tidak keduanya merupakan bilangan yang sama

Spoilerfor Penjelasan: Penjelasan:
Salah satu alasan mengapa desimal tak terhingga merupakan perluasan yang perlu dari desimal terhingga adalah untuk merepresentasikan pecahan. Dengan menggunakan pembagian panjang, pembagian bilangan bulat yang sederhana seperti 1â„3 akan menghasilkan desimal berulang 0,333â€¦. Desimal berulang ini mempunyai digit yang berulang tanpa akhir. Desimal ini memberikanbukti cepat 0,999â€¦ = 1. Perkalian 3 kali 3 menghasilkan 9 pada setiap digit, sehingga 3 Ã— 0,333â€¦ sama dengan 0,999â€¦. Dan 3 Ã— 1â„3 sama dengan 1, sehingga 0,999â€¦ = 1.[1]
Bentuk pembuktian lainya adalah perkalian 1/9 = 0.111â€¦ dengan 9.

dan

Quote:9. Identitas Euler

$e^{i\pi}=-1$

Jika agan lihat nilai e=2,71828182845904523536â€¦ , Ï€ = 3,14159265358979323846 dan i=âˆš-1, sepertinya mustahil e pangkat iÏ€ hasilnya -1

Pembuktian:
Nah, sekarang gw bakal ngebuktiin persamaan tersebut bener. ambil $z=cos\theta+isin\theta$ persamaan di bilangan complex lalu kita turunin diperoleh $\frac{dz}{d\theta}=-sin\theta+icos\theta$ Padahal $iz=icos\theta-sin\theta=-sin\theta+icos\theta$ inget $i^2=-1$ jadi $\frac{dz}{d\theta}=iz$ , $\int\frac{dz}{z}=\int id\theta$ , $ln z=i \theta+C$ , $z=e^{i\theta+C}$ Sekarang kita nyari nilai konstanta C karena z=cos\theta+isin\theta nilainya satu untuk \theta=0 maka nilai C adalah nol. Maka persamaan kita menjadi $z=cos\theta+isin\theta=e^{i\theta}$ Yang disebut dengan persamaan euler.Nah sekarang kita ambil nilai\theta=\pi diproleh $-1=cos\pi+isin\pi=e^{i\pi}$ = $-1=e^{i\pi}$ Dan akhirnya kita dapet $e^{i\pi}+1=0$

Quote:8. i pangkat i

Agan tahu bahwa $i=\sqrt{-1}$ adalah bilangan imajiner, tapi apakah ente tahu i pangkat i hasilnya adalah bilangan real $i^{i}=0.20788\ldots$ . aneh bukan ? ane juga bingung kok gan

Penjelasan:
Untuk mengetahuinya kita menggunakan persamaan euler $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ masukkan $x=\pi/2$ diperoleh $e^{i\pi/2}=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)$ = $e^{i\pi/2}=0+i1$ = $e^{i\pi/2}=i$ Lalu pangkatkan kedua sisi dengan i diperoleh $(e^{i\pi/2})^{i}=i^{i}$ karena sifat perpangkatan $(a^{b})^{c}=a^{bc}$ dan $-1=ii$ diperoleh $e^{-\pi/2}=i^{i}$ = $\approx0.207879576350761908546955...$ dan i^i adalah bilangan transendental

Quote:7. Jumlah sudut Segitiga tidak selalu 180Â°

Di Sekolah ente ente pasti diajarkan bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180Â° (yaiyah dong gan

) , padahal sebenarnya jumlah sudut Segitiga tidak selalu 180Â°. Jumlah sudut segitiga tergantung pada bidang apa segitiga itu digambar. Jika segitiga itu digambar di bidang datar (Geometri Euclid) maka jumlah sudutnya selalu 180Â°. Akan tetapi jika segitiga terbut digambar di bidang cembung /cekung (Geometri Non-Euclid) maka jumlah sudutnya tidak lagi 180Â°. Okey gampangnya gini dech, coba ente gambar segitiga pada bola, lalu hitung sudutnya. Apa jumlahnya masih 180Â°

?

Quote:6. Himpunan tak-hingga

Sesuai namanya himpunan tak hingga adalah himpunan yang mempunyai tak-hingga elemen , bagaimana mengetahui sutu himpunan adalah tak-hingga atau bukan?

Definsi: Himpunan X dikatakan tak hingga jika terdapat X himpunan bagian yang sebenarnya (proper subset) S\subset X, sedemikian hingga X dan S mempunyai elemen yang sama banyaknya $\left|S\right|=\left|X\right|$

Contoh: $I=\left(0,1\right)\subset\mathbb{R}$ (himpunan bilangan real), tentunya agan tahu bahwa interval terbuka dari nol sampai satu bagian dari himpunan bilangan real akan tetapi apakah agan tahu bahwa I mempunyai elemen yang sama banyaknya dengan $\left|I\right|=\left|\mathbb{R}\right|$ ? Mm..sepertinya suatu hal yang mustahil ya kan

?

Quote:5. Teorema Fundamental Kalkulus

Turunan dan Integral adalah dua hal yang amat-amat berbeda. Akan tetapi Teorema Fundamental Kalkulus dapat menghubungkan kedua hal yang berbeda tersebut dengan amat cantiknya. Menurut Teorema Fundamental kalkulus: Integral merupakan anti turunan. Bagi ane, ini merupakan teorema terfavorit ane

.

Quote:4. Grigori Perelman

Yup ini nama orang, nama matematikawan Rusia. Kenapa ane masukkan kedaftar ? Karena dia menolak 1 juta US Dollar atas jasanya memecahkan dugaan Poincare (kasih ke TS aja klo gk mau

). Hanya orang gila atau luar biasa jenius yang menolak uang sebesar itu.

Quote:3. Jarum Buffon

Misalkan agan berdiri di lantai dengan garis-garis paralel, yang jarak antar garisnya sama misalkan saja jarak antar garis 5 cm lalu kita menjatuhkan jarum sepanjang 5 cm, Nah pertanyaannya berapa peluang jarum tersebut jatuh diantar dua garis?

Jawabnnya $\frac{2}{\pi}$ , Mmmâ€¦ nilai yang mengejutkan, ya kan?

Quote:2 . Monty Hall Problem

Masih berhubungan dengan teori peluang.
Bayangkan agan mengikuti kuis, ada tiga pintu disana sebut saja pintu 1, pintu 2 dan pintu 3., salah satu berisi mobil dan dua lainnya berisi kambing. agan disuruh memilih salah satu dari ketiga pintu dan akan mendapatkan benda di balik pintu yang agan pilih. Tentu saja agan tidak tahu di pintu berapa, mobil itu berada. Misalkan saja agan memilih pintu 1 kemudian si pembawa acara bernama monty membuka salah satu pintu bisa pintu 2 atau 3 dan ternyata berisi kambing. Lalu si Monty bertanya ke agan â€ apa kamu mau mengganti pilihan?â€. Nah..sekarang pertanyaan untuk ente ente semua

1. Berapa peluang agan mendapatkan mobil jika tetap memilih pintu 1?

2. Berapa peluang agan mendapatkan mobil jika mengganti pilihan?

Banyak orang termasuk para akademisi berpikiran peluangnya 1/2, mau agan menganti pilihan atau tidak tetap peluangnya 1/2. Dengan alasan mau apapun pintu yang kamu pilih tetap saja pintu tersebut hanya ada 2 kemungkinan berisi mobil atau kambing. Padahal sebenarnya peluangmu hanya 1/3 jika kamu tetap memilih pintu 1 dan peluang ente akan naik menjadi 2/3 jika kamu mengannti pilihan.(agak membingungkan sedikit ya

)

Quote:1. Paradoks Banach Tarski

Tentu saja yang paling ajaib di matematika adalah Paradoks Banachh Tarski. Didunia matematika kita bisa memotong apel menjadi beberapa potong lalu kita bisa menyusun potongan2 tersebut menjadi 2 apel yang identik dengan apel sebelumnya.

Spoilerfor Penjelasan: Penjelasan:
Perlu dipahami bahwa bola padat yang dimaksudkan disini adalah bola padat menurut pemahaman matematika yaitu himpunan titik-titik tak hingga yang didefinisikan sebagai

dengan r jari-jari bola.

Teori yang ditemukan oleh Stefan Banach dan Alfred Tarski ini melibatkan beberapa teori sebelumnya yaitu Translasi, rotasi, isometri, kongruen dan aksioma pilihan.
Paradox Banach-Tarski (PBT) dijelaskan dalam dua versi yaitu versi lemah dan versi kuat. Kedua versi ini memperlihatkan keanehan, dan keajaiban yang berbeda.

Versi Lemah
Proses PBT yang dijelaskan dalam versi ini mempertahankan: Bentuk, Ukuran, Kepadatan, dan Volume.
Bentuk, artinya setelah proses PBT berlangsung bola padat yang dihasilkan sama seperti bola padat sebelumnya, tidak menjadi lonjong, gepeng atau setengah bola.
Ukuran, artinya jika bola padat yang dipecah berjari-jari r, maka hasil PBT akan tetap berjari-jari r juga.
Kepadatan, artinya untuk mendapatkan dua atau lebih bola padat yang memiliki ukuran dan bentuk yang sama dari susunan pecahan sebuah bola padat, tidak dilakukan peregangan, sehingga kepadatannya tetap.
Volume, artinya tidak dilakukan penambahan material kepingan dari luar kepingan sebuah bola padat sebelumnya.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan analogi berikut :

Secara formal, PBT Versi Lemah ini mengatakan,
Untuk sebarang bola padat

dapat dipecahkan menjadi kepingan-kepingan berhingga

dan isometri

pada R3 sedemikian sehingga

Quote:
Sumber:
1. Blog orang
2. Mbah Gule

Quote:Sebenarnya masih banyak hal-hal yang saya anggap ajaib di Matematika tapi ane taunya cuma segini ya gan

mungkin ada yang tahu bisa nambahin

. sekiranya cukup dulu ya (kalau perkataan ane kurang enak mohon maaf) kalau ada yang ikhlas ngasih